searchpengertian.com | Pada kesempatan kali ini admin akan membagikan materi seputar himpunan dalam matematika mencakup pengertian, notasi, menyatakan, anggota, jenis, hubungan, dan contoh soal himpunan dilengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan. Semoga apa yang admin bagikan kali ini dapat membantu anak didk dalam mencari referensi tentang himpunan dalam matematika mencakup pengertian, notasi, menyatakan, anggota, jenis, hubungan, dan contoh soal himpunan dilengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan.
A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang tercakup dalam satu kesatuan yang dapat terdefinisi dengan tepat dan jelas.
B. Notasi Himpunan
Himpunan dinotasikan (ditulis) dengan:
- Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital (huruf besar)
- Nama anggota himpunan dituliskan dengan huruf kecil yang terletak di antara tanda kurung kurawal { }.
- Untuk memisahkan antara satu anggota dengan anggota lainnya digunakan tanda koma.
- Untuk menuliskan anggota himpunan yang berlanjut, digunakan tanda titik sebanyak tiga titik.
Contoh :
Himpunan bilangan asli (A)
A = {1, 2, 3, 4, 5,...}
Himpunan bulan dalam setahun (B)
B = {januari, februari, maret,...}
C. Menyatakan Suatu Himpunan
Untuk menyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan tiga cara:
1. Menuliskan sifat anggotanya
contoh:
H adalah himpunan nama hari dalam seminggu,
ditulis:
H = {nama hari dalam seminggu}
G adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 30,
ditulis:
G = {bilangan ganjil kurang dari 30}
2. Notasi pembentukan himpunan
Contoh:
B = {x | x adalah nama hari dalam seminggu}
dibaca:
“Himpunan B beranggotakan x, dengan x adalah nama hari dalam seminggu”.
G = {x | x < 30, bilangan ganjil}
dibaca:
“himpunan G beranggotakan x, dengan x kurang dari 30 dan x anggota bilangan ganjil”.
3. Mendaftar semua anggotanya
contoh:
P = {bilangan prima kurang dari 10}
ditulis dengan:
P = {2, 3, 5, 7}
F = {huruf pembentuk kata INDONESIA} ditulis dengan:
F = { I, N, D, O, E, S, A}
D. Anggota Himpunan
Anggota himpunan adalah semua unsur yang terdapat didalam suatu himpunan.
Contoh:
Himpunan A = {a, b, c} maka: a, b, dan c berada didalam himpunan A dan merupakan anggota dari A. dapat ditulis:
a ∈ A, b ∈ A, dan c ∈ A.
x bukan merupakan anggota A maka ditulis x ∈ A.
Jumlah atau banyaknya anggota himpunan dapat ditulis dengan: n (A)
Contoh:
A = {2, 4, 6, 8, 10} maka banyaknya anggota A adalah n(A) = 5
E. Jenis-Jenis Himpunan
a. Himpunan terhingga
Himpunan terhingga adalah himpunan yang jumlah anggota himpunannya dapat dihitung atau ditentukan.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
K = {Kuda, Kambing, Kera, Kura-kura}
N = {Bilangan genap antara 1 sampai 20}
b. Himpunan tak terhingga
Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggota himpunannya tidak terbatas sehingga tidak dapat dihitung.
Untuk menuliskan himpunan tak terhingga cukup dengan menulis sebagian dari anggotanya, kemudian diikuti dengan tiga titik untuk anggota selanjutnya.
Contoh:
B = {bilangan ganjil}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...}
F = {nama – nama bunga}
F = {mawar, anggrek, melati, kenanga,...}
c. Himpunan Kosong {Ø}
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota
Himpunan kosong disimbolkan dengan {} atau Ø.
Contoh:
T adalah himpunan harimau pemakan rumput maka ditulis: T = {} atau T = Ø. Karena tidak ada harimau yang memakan rumput.
d. Himpunan Semesta (S)
- Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan.
- Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan biasa disimbolkan S atau U.
Contoh:
P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f}
Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S = {a, b, c, d, e, f}
C = {3, 7, 11, 13, 17}
Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S = {bilangan ganjil},
S = {bilangan prima},
S = {bilangan asli}, atau
S = {bilangan cacah}.
e. Himpunan Bagian (⊂ )
Himpunan bagian adalah anggota suatu himpunan yang menjadi anggota suatu himpunan yang lainnya.
- Himpunan bagian dinotasikan dengan ⊂ .
- Bukan himpunan bagian dinotasikan dengan ȼ.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 5, 7}, dan C = {2, 4, 6}
Maka, kesimpulannya adalah:
B himpunan bagian dari A, ditulis B ⊂ A.
C himpunan bagian dari A, ditulis C ⊂ A.
B bukan himpunan bagian C, ditulis B ȼ C
C bukan himpunan bagian B, ditulis C ȼ B
Banyaknya anggota himpunan bagian dapat dirumuskan dengan: N = 2ᵑ
Keterangan:
N = banyaknya anggota himpunan bagian
n = jumlah anggota suatu himpunan
Contoh:
B = {3, 5, 7}
Jumlah anggota himpunan B ada tiga, yaitu 3, 5, dan 7. sehingga banyaknya himpunan bagian dari B adalah:
N (B) = 3, maka:
N = 2³ = 8
Jadi, banyaknya anggota himpunan bagian ada 8, yaitu: {3}, {5}, {7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}, {3, 5, 7}, {}
F. Hubungan Antarhimpunan
a. Himpunan saling lepas
Himpunan saling lepas adalah dua himpunan yang anggotanya tidak ada yang sama. Himpunan saling lepas dinotasikan dengan A // B.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {6, 9, 12}
Anggota himpunan A tidak ada yang sama dengan anggota himpunan B sehingga A // B
b. Himpunan tidak saling lepas
Dua himpunan dikatakan tidak saling lepas apabila kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan atau beberapa dari anggotanya ada yang sama.
Contoh:
A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 11}
Dapat dikatakan himpunan A tidak saling lepas dengan himpunan B karena memiliki beberapa anggota yang sama, yaitu 3, 5, dan 7.
c. Himpunan yang sama
Dua himpunan dikatakan sama apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang sama. Dua himpunan yang sama dinotasikan dengan A = B.
Contoh:
A = {b, i, s, a} dan B = {a, b, i, s}
Karena anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B maka A = B.
d. Himpunan yang ekuivalen (~)
Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah anggota yang sama.
Contoh:
A = {bilangan prima antara 9 dan 15}, dan
B = {bilangan ganjil antara 4 dan 9}, maka:
A = {11, 13} => n(A) = 2
B = {5, 7} => n(B) = 2
N(A) = n(B) = 2 maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.
Ditulis : A = B
Model 2
Model - 3
B Ditulis : A ∩ B
Model 4
Jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A Ditulis : B ⊂ A
G. Contoh Soal Himpunan
Soal 1
S = { bilangan asli }, A = { bilangan ganjil }, B = { bilangan prima > 2 },
Himpunan di atas dapat dinyatakan dalam diagram Venn berikut :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
A = { 1, 3, 5, 7, 11, ...}
B = { 3, 5, 7, 11, ...}
Karena semua anggota himpunan B dimuat di A maka B A, artinya kurva B ada di dalam kurva A.
Jadi jawaban yang benar adalah : C
Soal 2
Perhatikan gambar berikut!
a. { 7, 8 }
b. { 1, 2, 9 }
c. { 3, 4, 5, 6 }
d. { 1, 2, 7, 8, 9 }
Pembahasan:
K = { 3, 4, 5, 6 }
Anggota S yang tidak menjadi anggota K adalah : { 1, 2, 7, 8, 9 }
Jadi jawaban yang benar adalah : D
Soal 3
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K ∪ L = ....
a. { p. o, s, u, k, m, a }
b. { m, a, s, b, u, k }
c. { p, a, k, u, m, i, s}
d. { k, a, m, p, u, s }
Pembahasan:
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K ∪ L = { k, o, m, p, a, s, u }
Diantara jawaban A, B, C, dan D yang memiliki anggota = anggota K ∪ L adalah A
Jadi jawaban yang benar : A
Soal 4
P = { faktor dari 10 }
Q = { tiga bilangan prima pertama } P ∪ Q = ....
a. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10 }
b. { 1, 2, 3, 4, 5, 10 }
c. { 1, 2, 3, 5, 7, 10 }
d. { 1, 2, 3, 5, 10 }
Pembahasan:
P = { 1, 2, 5, 10 }
Q = { 2, 3, 5 },
maka :
P ∪ Q = { 1, 2, 3, 5, 10 }
Jadi jawaban yang benar adalah : D
Soal 5
Jika himpunan A ⊂ B dengan n(A) = 11 dan n(B) = 18, maka n ( A ∩ B ) = ....
a. 7
b. 11
c. 18
d. 28
Pembahasan:
n ( A ) = 11
n ( B ) = 18
Setiap A ⊂ B, maka A ∩ B = A
Sehingga n ( A ∩ B ) = n ( A )
n ( A ∩ B ) = 11
Jadi jawaban yang benar adalah : B
Soal 6
Diagram Venn dibawah ini menunjukkan banyak siswa yang mengikuti ekstra kurikuler basket dan voli dalam sebuah kelas. Banyak siswa yang tidak gemar basket adalah ....
b. 15 orang
c. 19 orang
d. 22 orang
Pembahasan:
Yang tidak gemar basket
= 12 + 7 = 19
Jadi jawaban yang Benar adalah : C
Soal 7
Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa dalam kelas adalah ....
a. 16 siswa
b. 24 siswa
c. 32 siswa
d. 40 siswa
Pembahasan:
n(M) = 17 orang
n(F) = 15 orang
n(M ∩ F ) = 8 orang
n( M ∪ F ) = n(M) + n(F) – n(M ∩ F )
= 17 + 15 – 8
= 32 – 8
= 24 orang
Jadi jawaban yang benar adalah : B
Soal 8
Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa.
Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa ada ....
a. 38 ora
b. 45 orang
c. 65 orang
d. 77 orang
Pembahasan:
n(S) = 180 orang
n(M) = 103 orang
n(B) = 142 orang
n(M ∪ B ) = x orang
n(S) = n( M ∪ B ) = n(M) + n(B) – n( M ∩ B)
180 = 103 + 142 - X
X = 245 – 180 = 65
Jadi yang lulus adalah 65 orang = ( C )
Soal 9
Dalam satu kelas terdapat 40 siswa, 12 orang di antaranya senang biola, 32 orang senang gitar, dan 10 orang senang keduanya. Banyak siswa yang tidak senang keduanya adalah ....
a. 2 orang
b. 4 orang
c. 6 orang
d. 8 orang
Pembahasan:
Biola = 12 orang, Gitar = 32 orang
Biola dan Gitar = 10 orang.
Jlh Siswa di kelas = 40 orang.
Jlh siswa = n(B) +n(G) – n( B ∩ G)
40 – x = 12 + 32 - 10
40 - x = 44 - 10
x = 40 – 34 = 6
Soal 10
Sebuah RS mempunyai pasien sebanyak 53 orang, 26 orang menderita demam berdarah, dan 32 orang menderita muntaber. penderita DBD dan muntaber 7 orang,yang tidak menderita DBD atau muntaber adalah ....
a. 2 orang
c. 5 orang
b. 3 orang
d. 6 orang
Pembahasan:
Jumlah pasien = 53 orang.
Demam berdarah = 26 orang.
Muntaber = 32 orang.
DBD dan muntaber = 7 orang.
Bkn DBD atau muntaber = X orang.
X = ( 53 org ) - ( 26 org + 32 org – 7 ) =
X = 53 org – 51 org
X = 2 orang
Soal 11
Dari 40 orang anak, ternyata 24 anak gemar minum teh, 18 anak gemar minum kopi, 5 anak tidak gemar minum keduanya Banyaknya anak yang gemar keduanya adalah ....
a. 2 orang
b. 5 orang
c. 7 orang
d. 9 orang
Pembahasan:
Jumlah anak = 40 orang
Teh = 24 orang
Kopi = 18 orang
Teh dan Kopi = x orang
Tidak keduanya = 5 orang
(24 + 18 ) - x = 40 - 5
42 -x = 35
x = 42 - 35 = 7
Yang gemar keduanya adalah 7 anak.
Soal 12
Dari 60 orang siswa ternyata 36 orang gemar membaca, 34 orang gemar menulis, 12 orang gemar kedua-duanya. Banyaknya anak yang tidak mengemari keduanya adalah ....
a. 2 orang
b. 5 orang
c. 7 orang
d. 9 orang
Pembahasan:
Jumlah anak = 60 orang
Membaca = 36 orang
Menulis = 34 orang
Membaca dan menulis = 12 orang
Tidak keduanya = x orang
(36 + 34 ) - 12 = 60 - x
58 = 60 - x
x = 60 – 58
x = 2.
Soal 13
Jika himpunan B ⊂ A dengan n(A) = 25 dan n(B) = 17, maka n ( A ∪ B ) = ....
a. 8
b. 11
c. 17
d. 25
Pembahasan:
n ( A ) = 25
n ( B ) = 17
Setiap B ⊂ A,
maka A ∪ B = A
Sehingga n ( A ∪ B ) = n ( A )
n ( A ∪ B ) = 25
Soal 14
Dalam sebuah kelas terdapat 20 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya.
Banyak siswa dalam kelas adalah ....
a. 23 siswa
b. 27 siswa
c. 28 siswa
d. 43 siswa
Pembahasan:
n(M) = 20 orang
n(F) = 15 orang
n(M ∩ F ) = 8 orang
n( M ∪ F ) = n(M) + n(F) – n(M ∩ F )
= 20 + 15 – 8
= 35 – 8
= 27 orang