searchpengertian.com | Pada kesempatan kali ini admin akan membagikan materi seputar pengertian aljabar, bentuk dan unsur-unsur aljabar serta dilengkapi dengan contoh soal latihan dan pembahasannya lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Semoga apa yang admin bagikan kali ini dapat membantu anak didik dalam mencari referensi tentang materi seputar pengertian aljabar, bentuk dan unsur-unsur aljabar serta dilengkapi dengan contoh soal latihan dan pembahasannya lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya.
A. Pengertian Aljabar
Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar (algebra) merupakan cabang matematika yang menggunakan tanda –tanda atau huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka-angka.
B. Bentuk Aljabar
Aljabar digunakan untuk menghitung dan menyelesaikan suatu permasalahan baik, dalam aritmatika , biologi, kimia, ekonomi, teknik, geometri, fisika dll. Permasalahan tersebut terlebih dahulu dituliskan dalam bentuk aljabar.
1. Suatu bentuk aljabar terjadi dari suatu konstanta dan variabel (peubah) atau kombonasi konstanta dan peubah melaslui operasi penjumlahan , pengurangan, pembagian, perkalian, perpangkatan dan pengakaran.
a. Variabel, Konstanta, dan Faktor. Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9.
Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.
Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.
Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.
Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...
Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.
Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...
Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...
Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...
Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyak disebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.
Latihan Soal Aljabar
Tentukan koefisien dari x2 dan faktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut.
a. 7x²
Penyelesaian:
a. 7x² = 7 x x x x
Koefisien dari x² adalah 7.
Faktor dari 7x² adalah 1, 7, x, x², 7x, dan 7x²
b. 3x² + 5
Penyelesaian:
3x² + 5 = 3 x x x x + 5 x 1
Koefisien dari x2 adalah 3.
Faktor dari 3x² adalah 1, 3, x, x², 3x, dan 3x².
Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.
c. 2x² + 4x – 3
Penyelesaian:
2x² + 4x – 3 = 2 x x x x + 4 x x – 3 x 1
Koefisien dari 2x² adalah 2.
Faktor dari 2x² adalah 1, 2, x, x², dan 2x.
Koefisien dari 4x adalah 4.
Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.
Faktor dari –3 adalah –3, –1, 1, dan 3
C. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.
Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut.
a. –4ax +
Penyelesaian:
–4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3a
b. (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)
Penyelesaian:
=(2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)
= 2x² – 3x + 2 + 4x² – 5x + 1
= 2x² + 4x² – 3x – 5x + 2 + 1
= (2 + 4)x² + (–3 – 5)x + (2 + 1)
(kelompokkan suku suku sejenis)
= 6x² – 8x + 3
c. (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)
Penyelesaian:
(3a² + 5) – (4a² – 3a + 2) = 3a² + 5 – 4a² + 3a – 2
= 3a² – 4a² + 3a + 5 – 2
= (3 – 4)a² + 3a + (5 – 2
= –a2 + 3a + 3
Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini
a. 2x – 5y + 6x – 2y
b. 4a – 3b – 5a + 2b
Penyelesaian:
a. 2x – 5y + 6x – 2y
= 2x + 6x – 5y – 2y
= (2 + 6) x + (- 5 – 2)y
= 8x + (-7)y = 8x – 7y
b. 4a – 3b – 5a + 2b = 4a – 5a – 3b + 2b
= (4 - 5) a + (-3 + 2) b
= (-1) a + (-1) b
= - a – b
Jika p = 2, q = 3 dan r = 6, carilah hasil dari
p + q
p + q + 2r
3 p² – 2r
Penyelesaian:
a. p + q = 2 + 3 = 5
b. p + q + 2r = 2 + 3 + 2(6) = 2 + 3 + 12 = 17
c. 3p²– 2r = 3 (2)² – 2 (6) = 3 (4) – 12 = 12 – 12 = 0.
2. Perkalian
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan,
Yaitu : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan,
yaitu a x (b – c) = (a x b) – (a x c),
untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.
Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb
Contoh :
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6 = (3 + 42)x – 6 + 6 = 45x
d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z
b. Perkalian antara dua bentuk aljaba
(ax + b) (cx + d) = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d
= acx² + (ad + bc)x + bd
Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.
(ax+b)(cx+d) = ax(cx + d) + b (cx + d)
= ax × cx + ax × d + b × cx + b × d
= acx² + adx + bcx + bd
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut
(ax + b) (cx² + dx + e)
= ax × cx² + ax × dx + ax × e + b × cx² + b × dx + b × e
= acx³ + adx² + aex + bcx² + bdx + be
= acx³ + (ad + bc)x² + (ae + bd)x + be
= acx² + (ad + bc) x + bd
Contoh:
1. (2x + 3) (3x – 2)
Penyelesaian:
Cara (1) dengan sifat distributif.
(2x + 3) (3x – 2)
= 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)
= 6x² – 4x + 9x – 6 = 6x² + 5x – 6
Cara (2) dengan skema.
(2x + 3) (3x – 2) = 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
2. (2x – 1) (x² – 2x + 4)
Cara (1) dengan sifat distributif.
(2x – 1) (x² – 2x + 4) = 2x(x² – 2x + 4) – 1(x² – 2x + 4)
= 2x³ – 4x² + 8x – x² + 2x – 4
= 2x³ – 4x² – x² + 8x + 2x – 4
= 2x³ – 5x² + 10x – 4
Cara (2) dengan skema.
(2x – 1) (x² – 2x + 4) = 2x × x² + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x² + (– 1) × (–2x) + (–1) × 4
= 2x³ – 4x² + 8x – x² + 2x – 4
= 2x³ – 4x² – x² + 8x + 2x –
= 2x³ – 5x² + 10x – 4
3. Perpangkatan
Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a,berlaku
aⁿ = a x a x a .....x a
n faktor
Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.
Contoh:
(2p)²
Penyelesaian:
(2p)2 = (2p) × (2p)
= 4p2
– (3x²yz³)³
Penyelesaian
– (3x²yz³)³ = –27x⁶y³z⁹
(–3p²q)²
Penyelesaian :
(–3p²q)² = 9p⁴q²
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal.
Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.
Perhatikan uraian berikut.
(a + b)¹ = a + b ---------------> koefisiennya 1 1
(a + b)² = (a + b) (a + b)
= a² + ab + ab+ b
= a² + 2ab+ b² ---> koefisiennya 1 2 1
(a + b)³ = (a + b) (a + b)²
= (a + b) (a² + 2ab + b²)
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ --> koefisiennya 1 3 3 1
dan seterusnya.
Contoh:
Jabarkan bentuk aljabar berikut. (3x + 5)²
Penyelesaian:
a. (3x + 5)² = 1(3x)² + 2 × 3x × 5 + 1 × 5²
= 9x² + 30x + 25
(2x – 3y)²
Penyelesaian:
b. (2x – 3y)² = 1(2x)² + 2(2x) (–3y) + 1 × (–3y)²
= 4x² – 12xy + 9y²
(x + 3y)³
c. (x + 3y)³ = 1x³ + 3 × x² × (3y)¹ + 3 × x × (3y)² + 1 × (3y)³
= x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³